ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 7

Определение 1. Функция

f (x) называется возрастающей

(строго

возрастающей) на интервале a,b , если

x1, x2 : x1 a,b , x2

a,b , x1 x2

f x1 f x2 .

(1)

x1

x2

интервале a,b , если

x1, x2 : x1 a,b , x2 a,b , x1 x2

f x1 f x2 .

(2)

y

f x1

f x2

f (x)

x

x1

x2

Рис. 2

Определение 3. Функция

f (x) называется

неубывающей (не

строго

возрастающей) на интервале

a,b , если

x1, x2 : x1 a,b , x2 a,b , x1

x2

f x1 f x2 .

(3)

x1

x2

Рис. 3

Определение 4.

Функция

f (x) называется невозрастающей (не

строго

убывающей) на интервале

a,b , если

x1, x2

: x1 a,b , x2 a,b , x1 x2 f x1 f x2 .

(4)

f x1

f x2

f (x)

x

x1

x2

Рис. 4

Определение 5.

Функции, строго убывающие на a,b , и функции, строго

возрастающие на a,b , называются строго монотонными на a,b .

Теорема

1.

Пусть функция

y f (x) определена, строго монотонна и

непрерывна

на

интервале a,b . Тогда в соответствующем интервале

f a , f b

значений этой функции существует однозначная обратная

функция

x g( y) , также строго монотонная и непрерывная на интервале

f a , f b .

поэтому обратная функция к f (x) x2 существует, равна

x g( y) y и

задается на соответствующем отрезке y 0, 4 .

4

Пример 2.

Найти обратную функцию для f (x) x2 на отрезке x 2,0 .

Решение.

На

отрезке

x 2,0 функция

y f (x) x2 является

строго

убывающей, поэтому обратная

функция к

f (x) x2

существует, равна

y 4,0 .

g( y) x

y и задается на соответствующем отрезке

Пример 3.

Найти обратную

функцию для

y f (x) sin(x) на

отрезке

,

x

.

2

2

Решение.

На

отрезке

,

y sin(x) является

строго

x

функция

2

2

возрастающей,

поэтому обратная функция к f (x) sin(x) существует, равна

x g( y) arcsin( y) и задается на соответствующем отрезке y

1,1 .

2

2

1

y

f(y)

1

0.5

0

0.5

1

1

2

2

Рис.5.

y

5

Теорема 2.

Пусть функция y f (x)

определена, строго монотонна и

непрерывна в O(x0 ) , а также в

x0 имеет конечную и отличную от нуля

производную

f (x0 ) c сonst 0 .

Тогда

в

окрестности

O( y0 )

соответствующей

точки

y0 f (x0 )

существует

непрерывная

обратная

функция x g( y) , при этом

g ( y0 )

1

1

const .

(5)

f

x0

c

Доказательство:

g ( y ) lim g lim x .

0

y 0 y

y 0 y

Из непрерывности обратной функции следует, что при y 0

x 0,

тогда

x

1

.

(6)

y

y

x

В (6) перейдем к пределу при y 0

g y0

lim

x

lim

1

1

1

.

(7)

y

y

y

f x0

y 0

y 0

lim

x

x 0

x

Пример 4.

Найти производную функции y arcsin(x) , заданной на отрезке

Для функции y arcsin(x) ,

отрезке x

Решение:

заданной на

1, 1

существует

обратная функция

x sin y на соответствующем отрезке

,

y

. Тогда

2

2

1

1

1

1

arcsin (x)

.

(8)

sin y

cos y

1 sin2 y

1 x2

2

1.6

1.2

0.8

0.4

atan(x)

20

16

12

8

4

0

4

8

12

16

20

0.4

0.8

1.2

1.6

2

Рис. 6.

x

Решение:

Для функции y arctg(x), заданной на отрезке

x ,

существует

обратная функция x tg y на соответствующем интервале

,

. Тогда

y

2

2

1

1

cos2 y

1

1

arctg (x)

. (9)

tg y

1

1 tg 2 y

1 x2

cos2 y

sh(x)

ex e x

,

(10)

2

ch(x)

ex e x

.

(11)

2

ch(x) 3

2

1

0

1

2

3

sh( x)

e x ex

ex e x

sh x ,

(12)

2

2

ch( x)

e x ex

ex e x

ch x ,

(13)

2

2

ch 2x sh2 (x) ch2 x .

(18)

ch2 x sh2 x

ex e x 2

ex

e x 2

2

2

e2 x 2 e 2 x

e2 x 2 e 2 x

1.

4

4

сh2 (x) sh2 x 1.

(19)

Кроме того, можно получить

сh(x y) ch x ch y sh x sh y ,

(20)

sh(x y) sh x ch y ch x sh y .

(21)

th(x)th(x)

3

2

1

0

1

2

3

cth(x)x) 5

4

3

2

1 0 1

2

3

4

5

1

2

3

4

5